Informática de Gestão, Engenharia de Sistemas e Computação, Ensino de Informática, Físsica e Química, Engenharia Física –Tecnológica (opção)

1ª parte - Teoria das Probabilidades

1. Liste os elementos de cada um dos seguintes espaços amostras:

1. o conjunto de números inteiros entre 1 e 50 divisíveis por 8;
2. o conjunto W ={x:x²+4x-5=0};
3. o conjunto desfechos obtidos uma moeda é arremessada ao ar várias vezes até que a coroa ou três caras aparecem;
4. o conjunto W ={x:2x-4 ³ 0 e x<1}

2. Uma experiência envolve o arremesso de dois dados perfeitos e registo dos números que saem. Descreva os elementos que compõem o espaço amostra.
3. Quatro estudantes foram seleccionados casualmente de uma turma de químicos e classificados segundo homem (H) ou mulher (M). Liste os elementos do espaço amostra utilizando letras H ou M.
4. Uma experiência consiste em arremessar uma moeda 3 vezes ao ar. Qual é o espaço amostral desta experiência? Que acontecimento corresponde à experiência resultante em mais caras do que coroas?
5. Seja W ={1,2,3,4,5,6,7}, E={1,3,5,7}, F={7,4,6}, G={1,4}.Determine

1. EF
2. EÈ FG
3. EG^c
4. EF^cÈ G
5. E^c(FÈ G)
6. EGÈ FG

6. Dois dados são lançados ao ar. Seja E o acontecimento – a soma dos pontos nos dados é oito, F o acontecimento – a pontuação no primeiro dado é 1 e G o acontecimento – a soma dos pontos é 5. Descreva os acontecimentos EF, EÈ F, FG, EF^c, EFG.
7. Sejam E, F, G três acontecimentos. Deduza as expressões envolvendo E, F, G para os seguintes acontecimentos

1. Somente o E ocorre;
2. E e G ocorrem mas o F não;
3. pelo menos um dos acontecimentos ocorre;
4. pelo menos dois dos acontecimentos ocorrem;
5. todos três ocorrem;
6. nenhum dos acontecimentos ocorre;
7. no máximo um deles ocorre;
8. no máximo dois ocorrem;
9. exactamente dois deles ocorrem;
10. no máximo três deles ocorrem.

8. Expresse em linguagem corrente os seguintes acontecimentos

1. EÈ F^c
2. EE^c
3. (EÈ F)(EÈ F^c)
4. (EÈ F)(E^cÈ F)(EÈ F^c)

9. Considere a experiência aleatória que consiste em lançar uma moeda até sairem duas caras consecutivas ou tiverem sido feitos 4 lançamentos. Descreva o espaço de resultados W associado a esta experiência.
10. Um grupo de cinco candidatos para dois lugares de emprego é constituído por três homens e duas mulheres. Utilize-se os símbolos H1, H2, H3, M1 e M2 para identificar cada indivíduo.

a) Defina o espaço de resultados W associado à experiência, que consiste na escolha aleatória de dois entre os cinco candidatos.

b) Atendendo aos seguintes acontecimentos

A = {os candidatos escolhidos são ambos do sexo masculino}

B = {pelo menos um dos candidatos é uma mulher},

identifique os elementos dos acontecimentos A, Bc, AÈ B, AÇ B, AÇ Bc.

II - Técnicas de Contagem

11. Uma agência de turismo está oferecendo 6 excursões diariamente a um grupo participantes durante os três dias que demora uma convenção. De quantas maneiras pode uma pessoa organizar-se para ir a excursão.
12. Uma marca de automóvel lança uma nova linha com cinco modelos diferentes, cada um podendo ter três tipos de motor (M1, M2 e M3) e uma de seis cores diferentes.

a) Se se quiser escolher um automóvel dessa marca, quantas alternativas existem?

b) Se se quiser escolher um automóvel vermelho, quantas alternativas existem?

c) Se se quiser escolher um automóvel vermelho ou com motor M2, quantas alternativas existem?

13. Quantas palavras, com significado ou não, se podem escrever com as letras da palavra ROMA? E quantas pode formar com as letras da palavra BARBARA?
14. Determine o número de grupos com três elementos que se podem formar numa turma de 10 rapazes e 10 raparigas. Qual o número de grupos que se podem formar se se exigir que cada grupo seja formado por um rapaz e duas raparigas?
15. Uma família de cinco pessoas senta-se em cinco cadeiras dispostas em fila para assistir diariamente aos programas de televisão. De quantas maneiras diferentes se podem sentar as cinco pessoas? E se duas delas tiverem de ficar ao lado uma da outra?
16. Uma prova de estatística é constituída por 12 problemas: 4 deles são obrigatórias e dos restantes 8 é necessário responder a cinco. Quantas opções de resposta tem o aluno?
17. Quantas matrículas de automóvel diferentes são possíveis no sistema português? (considere o alfabeto português com 23 letras).
18. Para ganhar o primeiro prémio no totoloto, é necessário escolher correctamente um grupo de seis números a partir de um conjunto de 49 números. Quantos grupos de números é possível formar nessas condições?
19. Num estudo médico os doentes são classificados de 8 maneiras conforme o tipo do seu sangue é AB+, AB-, A+, A-, B+, B-, O+ ou O- e ainda conforme o sua pressão arterial é baixa, normal ou alta. Determine o nº de maneiras um doente pode ser classificado.
20. Num estudo de economia de combustível, cada um dos três carros de corrida é testado usando 5 diferentes tipos de gasolina em pontos de teste localizados em diferentes regiões do país. Se 2 condutores são usados neste estudo e os testes são feitos sob condições distintas, diga quantos testes são necessários.
21. De quantas maneiras diferentes um teste com 9 perguntas do tipo falso – verdadeiro, pode ser respondido?
22. De quantas maneiras podem 6 pessoas fazer fila para apanhar o autocarro?

1. e se três pessoas específicas insistem em seguir uma a outra?
2. e se duas pessoas específicas recusam a seguir uma a outra?

23. Um empreiteiro quer construir 9 casas de diferentes "designs". De quantas maneiras pode ele colocar estas casas na rua, se 6 lotes estão num lado da rua e 3 do lado contrário?
24. Quatro casais compraram 8 lugares na mesma fila para um concerto. De quantas maneiras diferentes eles podem se sentar

1. sem restrições?
2. se cada casal deve se sentar junto?
3. se todos os homens devem se sentar à direita de todas as mulheres?

25. Para idealizar a bandeira de um clube, uma comissão decidiu que esta teria três listas verticais, cujas cores seriam escolhidas entre o preto, o branco, o vermelho e o azul.

4. Se a ordem das listas verticais não interessar, quantas bandeiras diferentes se podem fazer, sem que se repitam as cores?

1. Quais dos seguintes números não podem representar probabilidades?

a) 0,462 b) -0,201 c) 1,000

d) 7/6 e) 0 f) 3,5

g) 5/6 h) 0,1

2. Das 10 alunas de uma classe, 3 têm olhos azuis. Se duas delas são escolhidas aleatoriamente, qual é a probabilidade de :

a) ambas terem olhos azuis.

b) nenhuma ter olhos azuis.

c) pelo menos uma ter olhos azuis.

3. Considere a experiência aleatória que consiste em introduzir ao acaso duas bolas (uma bola verde e a outra preta) em três urnas numeradas e em registar para cada urna o número de bolas nela contidas e a respectiva cor.

a) Qual a probabilidade de as duas bolas serem introduzidas na mesma urna?

b) Qual a probabilidade de que uma ou as duas bolas sejam introduzidas na terceira urna?

c) Qual a probabilidade de encontrar a bola preta na segunda urna?

4. Uma caixa contém 50 lâmpadas, das quais 10 estão fundidas. Escolhendo ao acaso 8 dessas lâmpadas, qual a probabilidade de todas estarem em boas condições?
5. Uma urna contém 14 bolas e em cada uma delas está registado um número. Seis dessas bolas apresentam um número positivo e oito um número negativo. Retiraram-se quatro bolas dessa urna e multiplicaram-se os respectivos números. qual a probabilidade de o produto assim obtido ser positivo?
6. Qual a probabilidade de, entre 24 pessoas escolhidas ao acaso, nenhuma delas fazer anos no mesmo dia do ano (considere o ano com 365 dias)?
7. De 20 indivíduos listados para dar voluntariamente sangue, 15 têm sangue de tipo B. Se se seleccionarem ao acaso três indivíduos desta lista,

a) qual a probabilidade de terem todos sangue de tipo B?

b) qual a probabilidade de dois terem sangue de tipo B e um não ter?

c) qual a probabilidade de pelo menos um ter sangue de tipo B?

8. Dois amigos combinaram que passariam num determinado local entre as 18 e as 19 horas, mas o primeiro que chegasse esperaria somente durante vinte minutos e depois ir-se-ia embora. Qual a probabilidade de os dois amigos realmente se encontrarem?
9. Considere a experiência aleatória que consiste em escolher ao acaso dois números reais positivos não superiores a 3 e em calcular a sua diferença.

a) Identifique o espaço amostral W da experiência.

b) Qual a probabilidade de ocorrência dos seguintes acontecimentos?

A = {a diferença obtida é negativa}

B = {a diferença obtida é superior a 2}

C = {a diferença obtida é inferior a 2,5}

c) Calcule as seguintes probabilidades:

P(AÇ B), P(AÇ C), P(AÈ C) e P(AÈ BÇ C).

10. Considere duas circunferências centradas na origem, com raios iguais a 2 e 3, respectivamente. Calcule a probabilidade de um ponto escolhido ao acaso no interior da circunferência maior ter coordenadas positivas mas não pertencer à circunferência menor.
11. Sabendo que P(A) = 2/3, P(B) = 1/2 e P(AÇ B) = 1/3, determine :

, , ,

12. Os habitantes de uma pequena aldeia adoram contar anedotas uns aos outros em segredo. Suponha que a aldeia tem n+1 habitantes e que uma pessoa conta uma anedota apenas a outra que, por sua vez, a repete a uma terceira pessoa, etc. Em cada passo, a pessoa que ouve a anedota é escolhida entre as restantes n-1 pessoas. Qual a probabilidade de uma anedota ser contada r vezes

a) sem voltar a ser contada à primeira pessoa?

b) sem ninguém a ouvir mais que uma vez?

13. Dois estudantes A e B do primeiro ano de um curso superior têm as probabilidades de se licenciar respectivamente iguais a 1/6 e 1/4. Utilizando as letras A e B para indicar os acontecimentos "Licencia-se o aluno A" e "Licencia-se o aluno B", represente, com a ajuda da álgebra de conjuntos, os acontecimentos seguintes e calcule as respectivas probabilidades:

a) Ambos se licenciam. b) Pelo menos um se licencia.

c) Nem um nem outro se licencia. d) Somente um se licencia.

14. Mostre que se EÌ F, então P(E)£ P(F).
15. Se P(E)=0.9 e P(F)=0.9 mostre que P(EF)³ 0.8. Em geral prove a desigualdade de Bonferroni P(EF)³ P(E)+P(F)-1.
16. Prove que

1. P(EF^c)=P(E)-P(EF)
2. P(E^cF^c)=1-P(E)-P(F)+P(EF)

17. Mostre que a probabilidade de que exactamente um dos acontecimentos E ou F ocorre é P(E)+P(F)-2P(EF).
18. Tendo-se lançado dois dados perfeitos ao ar (dados sem defeitos), achar a probabilidade de que a soma dos pontos obtidos seja par e que se tenha obtido pelo menos um seis.
19. Suponhamos que se tenha imaginado um número de dois algarismos. Achar a probabilidade deste coincidir com

1. um número de dois algarismos tomado ao acaso;
2. um número de dois algarismos distintos tomado ao acaso.

20. Tendo-se lançado dois dados ao ar encontrar a probabilidade de cada um dos seguintes acontecimentos:

1. a soma dos pontos obtidos é igual a sete;
2. a soma dos pontos obtidos é oito e a diferença, quatro;
3. a soma é oito, ao se saber que a diferença é quatro;
4. a soma dos pontos é cinco e o produto – quatro.

21. Suponhamos que um cubo com faces coloridas tenha sido serrado em mil cubinhos de tamanho igual. Calcule a probabilidade de que um cubinho extraído ao acaso tenha

1. uma face colorida;
2. duas faces coloridas;
3. três faces coloridas.

22. Tendo-se lançado duas vezes uma moeda ao ar, achar a probabilidade de que a coroa saiu pelo menos uma vez.
23. De um grupo de pessoas que inclui seis homens e quatro mulheres escolhe-se ao acaso sete pessoas. Achar a probabilidade de que entre elas estejam precisamente três mulheres.
24. De um lote de 15 válvulas 10 são boas. Encontrar a probabilidade de que de cinco válvulas extraídas ao acaso três estejam boas.
25. Uma fechadura de segredo é constituída de quatro discos coaxiais (com o mesmo eixo). A fechadura só se abre ao se compor, rodando os discos, um determinado número de quatro algarismos. Determinar a probabilidade de que esta se abra mediante a composição de um número escolhido ao acaso.
26. Suponhamos um círculo de raio R que contenha um círculo menor de raio r. Determinar a probabilidade de que um ponto escolhido ao acaso no maior dos círculos pertença ao menor. Admite-se que a probabilidade depende apenas da área do círculo sendo proporcional a esta.
27. Dados no plano, dois círculos concêntricos de raio igual a 5 e 10 cm, respectivamente, achar a probabilidade de que um ponto escolhido ao acaso no maior dos círculos, pertença ao anel obtido pela omissão do menor.
28. Qual a probabilidade de avaria do sistema de transmissão abaixo representado? Assuma que os diferente elementos têm a mesma probabilidade p de avariar e que eles avariam independentemente uns dos outros. O sistema funciona se a corrente puder entrar e sair, isto é, se existir pelo menos um canal de transmissão entre a entrada e a saída do circuito.



IV - Probabilidades condicionais

29. Numa fábrica de produção em série, existem três inspectores – X, Y e Z –, cada um deles responsável pela verificação de 20%, 30% e 50% dos artigos produzidos. A probabilidade do inspector X deixar passar um artigo defeituoso é 0,05; a probabilidade do inspector Y deixar passar um artigo defeituoso é 0,10 e a probabilidade do inspector Z cometer o mesmo erro é 0,15. Escolha-se ao acaso um artigo que foi inspeccionado.

a) Qual a probabilidade de que seja um artigo defeituoso?

b) Sendo defeituoso, qual a probabilidade de ter sido X a inspeccioná-lo?

c) Sendo defeituoso, qual a probabilidade de ter sido Z a inspeccioná-lo?

30. Sabendo que P(A) =.5 e que P(AÈ B) = .6, determine P(B) se :

a) A e B forem disjuntos (mutuamente exclusivos).

b) A e B forem independentes.

c) P( A / B ) = .4.

31. Considere os seguintes acontecimentos A, B, e C em que P(A)=1/4, P(B)=3/8, A e C são mutuamente exclusivos e P(AÇ B)=1/8. Calcule:

P(AÈ B), P(Ç ) e P( | A)

32. Num determinado jogo de azar, o objectivo é obter um seis no lançamento de um dado retirado ao acaso de uma urna onde existem três dados diferentes. Um desses dados tem três faces com o número seis; um outro dado é viciado, havendo a probabilidade de 2/6 de sair um seis; um terceiro dado é normal (não viciado). Qual a probabilidade de obter um seis neste jogo?
33. Um navio possui três canhões de diferente calibre e pretende destruir uma torre. A probabilidade da torre ser destruída pelos canhões A, B e C é, respectivamente, igual a 1/3, 1/4 e 1/6.

a) Qual a probabilidade da torre ser destruída por um só canhão?

b) Sabendo que só um dos tiros atingiu a torre, qual a probabilidade de ter sido esse tiro efectuado pelo canhão C?

34. Uma bolsa contém moedas de prata e de cobre em igual número. Extraem-se ao acaso duas moedas. Calcule a probabilidade de:

3. uma e só uma das moedas ser de prata.
4. pelo menos uma das moedas ser de cobre.

1. Considere o seguinte circuito em paralelo : Ensaios prévios permitem dizer que :

P ( B falhar ) = .4

P ( só falhar A ) = .1

P ( A e B falharem ) = .3

Calcule as seguintes probabilidades :

a) P ( B falhar / A falhou )

b) P ( só B falhar)

2. Seleccionou-se aleatoriamente uma amostra de 50 alunos da Universidade do Algarve e as pesquisas feitas encontram-se representadas na seguinte tabela :

curso Inf. ( B1) outros cursos ( B2 )

alunos sem computador ( A1 )	4	6	10
alunos com computador ( A2 )	30	10	40
	34	16	50

Escolhendo ao acaso um estudante da amostra determine a probabilidade de :

a) P( A1 Ç B1 )

b) P( A2 Ç B1 )

c) P( A1 / B1 )

d) P( A2 / B1 )

e) P( B2 / A2 )

3. Considere-se um cesto grande que contém 4 sacos, cada um com 25 bolbos de túlipas. Sabe-se que em 3 dos 4 sacos existem 5 bolbos para túlipas vermelhas e 20 para túlipas amarelas; o saco restante contém 15 bolbos para túlipas vermelhas e 10 para túlipas amarelas. Escolhe-se aleatoriamente um dos sacos e planta-se um bolbo retirado ao acaso do saco seleccionado. Qual é a probabilidade de :

a) se produzir uma túlipa vermelha ?

b) se produzir uma túlipa amarela ?

c) sabendo que a túlipa produzida é vermelha, se ter escolhido o saco que continha 15 bolbos para túlipas vermelhas e 10 para túlipas amarelas, .

4. Dadas as seguintes caixas contendo bolas pretas e bolas brancas

A B C



a) qual a probabilidade de se extrair uma bola preta de uma caixa escolhida ao acaso?b) qual é a probabilidade de essa bola preta ter sido extraída da caixa B ?

 

5. Um programa de computadores opera usando duas subrotinas A e B, consoante o problema. A experiência indica que a subrotina A é usada 40% das vezes, e a subrotina B 60% das vezes. Quando se utiliza A há 75% de probabilidade de executar o programa antes do tempo limite, se se utiliza B há 40% de probabilidade de exceder o tempo limite.

a) determine a probabilidade de ao executar um programa exceder o tempo limite.

b) se ao executar um programa qualquer não exceder o tempo limite, qual a subrotina com maior probabilidade de ter sido usada?

 

6. Imagine a seguinte experiência laboratorial :